数学建模

 

模型知识点

初等模型-概率模型-案例-核酸混检

 

Wang Haihua

🚅 🚋😜 🚑 🚔

问题背景

在22年3月4日上海疫情防控工作新闻发布会上, 市卫健委主任邬惊雷回答记者提问时提到[2], 全上海市每日最大检测能力达到单人单管102.8万份.

简单估算一下, 如果全员核酸, 2400万人需要约24天. 尽管单日检测能力已达百万份, 但全员短时间内检测完也需要3周多. 这离3天的国家标准相去甚远.

但请注意, 这102.8万份的检测能力是指“单人单管”, 实际上还可以“多人单管”, 即“混样检测”. 《指南》[1]中就有要求, 隔离点及其他重点人群应单采单检, 封闭小区（封闭到户）1户1管, 其他地区根据实际情况采取5混1或10混1开展检测. 实际上在2022年发布的《新冠混采技术规范》[3] 中甚至给出了20混1的方案. 而根据2020年《柳叶刀》杂志发表的研究成果[4], 在保证灵敏度和准确性的前提下, 最多可一次混合30份样本.

所以如有必要, 借助混样检测技术, 即使像上海这样的超大型城市实施全员检测也是有可能在3天内完成的.

20混1, 即将20份样本混合后变为1份样本, 那么检测次数变为原来1/20, 所以使检测能力提升20倍. 这样的看法对吗？

要搞清楚这个问题, 首先我们得了解混样检测的原理. 即阳性血样与阴性血样混合后的检测结果为阳性, 同为阴性或阳性的血样混合后结果不发生改变. 因此如果当混合样本检测结果是阴性, 那就全部通过, 如果是阳性, 那就需要对混合到其中的样本进行逐个检测. 所以检测能力并不是简单的20倍关系, 因为当混合样本被检测为阳性后依旧需要耗费额外的检测次数, 这就与被检测样本中阳性的比率有关, 也就是感染率. 21年7月南京疫情, 进行了三轮核酸检测, 总共检测了2600多万份样本, 共检测出了204例确诊病例[5], 其感染率约为0.001%

问题提出

假设上海有2000万人参与20混1的核酸检测, 给定无症状感染者的比例为p, 那么核酸检测能力相对"单人单管"可以提升多少倍呢？

建立模型

• $x$:总人数
• $p$:感染率
• $G$:每组人数
• $T_1$:第一轮检测的次数
• $T_2$:第二轮检测的次数
• $T$:总检测次数
• $E$:检测提升的倍数

最坏情况

如果考虑最坏情况, 即所有的阳性样本都被分配到不同组进行检测.那么第一轮检测次数为 $$T_1 = \frac{x}{G}$$

将其中将发现组混合样本为阳性需要再次逐一检测,所以总的检测次数为 $$T = T_1+T_2 = \frac{x}{G}+xpG$$

故其检测能力是单人单管的 $$E = \frac{x}{\frac{x}{G}+xpG}=\frac{1}{\frac{1}{G}+pG}$$

由此可见, 检测能力的提升量与总样本数无关, 只与感染率有关

plt.plot(p_array,E_array)
plt.scatter([0.0475],[efficency(20,0.0475)],marker='*',s=500,c='r')
plt.hlines(1,1e-6,1e-1,colors='gray',linestyles='--')
plt.vlines(0.0475,0,20,colors='gray',linestyles='--')
plt.axvspan(xmin=4e-2,xmax=6e-2,facecolor='y',alpha=0.1)      # 增加垂直区域
plt.annotate('Equal',
            xy = (0.0475,efficency(20,0.0475)), # 箭头的头部
            xytext=(0.06,efficency(20,0.05)+1), # 箭头的尾部
            #weight = 'bold', # 粗细
            #color= 'b', # 颜色
            arrowprops = dict(arrowstyle='->',connectionstyle='arc3',color = 'b')
            )
plt.ylim(0,5)
plt.xlabel('Infection rate')
plt.ylabel('Efficency')

plt.show()

Text(0, 0.5, 'Efficency')

当感染率增高后, 混样检测的效率会随之降低. 而当混样检测次数大于"单人单管"检测次数后, 混样检测就没有必要了. 此时感染率的临界值为4.75%

平均情况

如果考虑平均情况, 即所有阳性样本与其他样本随机混合.

不妨设“每个样本的阳性与否”为相互独立的随机事件, 将"平均每个样本所消耗的检测次数"作为随机变量E.

设被检测对象的核酸检测结果呈阳性的概率为, 每份样本池混合个样本, 则有：

1. 如果样本所在的样本池检测结果为阴性, 那么该样本池中每个样本平均消耗的检测次数为1/20, 而该随机事件可看作是20次独立重复随机试验(伯努利试验)的结果, 故概率为 $$(1-p)^{20}$$

1. 如果样本所在的样本池检测结果为阳性, 那么该样本池中每个样本平均消耗的检测次数为 $$1+\frac{1}{G}$$

而该随机事件同样可以看作是20次独立重复随机试验的结果, 概率为 $$1-(1-p)^{G}$$

故每个人被检测次数的期望为 $$(1-p)^{G}\times \frac{1}{G}+(1-(1-p)^{G})\times(1+\frac{1}{G})$$

检测能力提升 $$E = \frac{1}{1+\frac{1}{G}-(1-p)^{G}}$$

plt.show()

Text(0, 0.5, 'Efficency')

观察结果, 我们发现在感染率较低(小于)0.1%时, 平均情况与上述最坏情况大体相当. 结合实际情况, 目前感染率水平远低于0.01%, 所以通过20混1检测确实让核酸检测能力提升将近20倍

参考文献

• https://mp.weixin.qq.com/s/HgTlpf46uD7Tcm78CbgRZg

• 关于印发全员新型冠状病毒核酸检测组织实施指南（第二版）的通知 http://www.nhc.gov.cn/yzygj/s7659/202109/a84fe1eccb414418aa5ebb21b4369c8b.shtml

• 嘉定的确诊病例跟昨天公布的病例是否有关联？医疗救治情况如何？核酸检测能力跟得上吗？今天的发布会详解http://wsjkw.sh.gov.cn/xwfb/20220305/401803ec2f79432eb2f5585266c34ddb.html

• 新冠病毒核酸20合1混采检测技术规范http://www.gov.cn/xinwen/2022-01/19/content_5669285.htm

• Pooling of samples for testing for SARS-CoV-2 in asymptomatic peoplehttps://www.thelancet.com/journals/laninf/article/PIIS1473-3099(20)30362-5/fulltext

• 16天检测上亿人次, 545例确诊, 上海没全员核酸为何能控制疫情？https://news.ifeng.com/c/88ShCGYOFy4